Combien de temps avant la ruine ?

Les trois chiffres à retenir

Le troisième chiffre est celui qui surprend. Le joueur n'a pas eu l'impression de perdre : il a gagné 10 € cinquante-trois fois, soit 530 €. Puis il a perdu 630 € en six coups. Il ne retient souvent que la première partie.

Pourquoi un gros capital ne protège de rien

C'est l'argument central de la martingale : « avec assez d'argent, on finit toujours par gagner ». Il est faux pour deux raisons, et la première suffit.

La limite de table plafonne les doublements. Avec une mise de base de 10 € et un plafond de 500 €, on ne peut miser que 10, 20, 40, 80, 160 et 320 €. La septième mise, 640 €, dépasse le plafond et sera refusée. Six doublements, pas un de plus — quel que soit le capital. Tout ce qui dépasse 630 € reste dans la poche et ne protège de rien.

Et même sans plafond, plus de capital signifie plus de pertes. Le tableau suivant suppose une table sans limite, sur la roulette européenne, avec une mise de base de 10 €. Chaque ligne correspond au capital minimal pour couvrir un doublement de plus.

Temps calculé à 40 tours par heure, cadence d'une table de roulette en salle. Une roulette en ligne tourne deux à trois fois plus vite : diviser les durées d'autant.

Lisez la dernière colonne de haut en bas : chaque doublement supplémentaire multiplie à peu près par deux la perte moyenne. Le joueur à 10 230 € joue quarante heures avant d'exploser — assez pour être convaincu que la méthode fonctionne — puis rend en moyenne près de 2 400 €.

C'est le cœur du piège. Plus vous êtes riche, plus la martingale dure longtemps, plus elle vous convainc, et plus elle vous coûte.

Vos chances d'atteindre un objectif

Beaucoup de joueurs ne visent pas l'infini : ils se fixent un gain, puis s'arrêtent. C'est plus raisonnable, et le calcul change. Avec 6 doublements autorisés (table à 500 €, mise de 10 €) :

Viser 50 € réussit neuf fois sur dix. C'est exactement ce qui entretient la croyance : la plupart des sessions courtes se terminent en gain. Mais la dixième fait perdre 630 €, soit l'équivalent de treize sessions réussies. Et l'espérance reste négative quel que soit l'objectif choisi.

Et la roulette américaine ?

Elle comporte deux zéros au lieu d'un. La probabilité de gagner sur une chance simple tombe de 18/37 à 18/38, et la martingale s'effondre plus vite : avec les mêmes réglages, une séquence sur 47 explose, et le bilan moyen passe à −169,54 €, presque le double de la version européenne.

Les variantes n'y changent rien

On vous proposera peut-être une « amélioration ». Elles ont toutes le même défaut.

La règle qui les réunit tient en une phrase : à la roulette européenne, vous perdez en moyenne 2,70 % de tout ce que vous misez, quelle que soit la façon dont vous le misez. Une méthode peut vous faire miser plus ou moins, plus ou moins vite, avec plus ou moins de variance. Elle ne peut pas changer ce pourcentage. C'est la conséquence directe du théorème d'arrêt de Doob, expliqué sur la page consacrée aux probabilités.

La méthode de calcul

Ces chiffres ne sont pas estimés : ils sont calculés par formule exacte. Les voici, pour que vous puissiez les refaire.

• p = probabilité de gagner un coup (18/37 à la roulette européenne), q = 1 − p
• n = nombre de mises possibles dans une séquence, le plus petit des deux bornes : ⌊log₂(capital / mise + 1)⌋ et ⌊log₂(plafond / mise)⌋ + 1
• Probabilité qu'une séquence explose : qⁿ
• Coût d'une séquence perdue : mise × (2ⁿ − 1)
• Espérance d'une séquence : mise × (1 − (2q)ⁿ) — négative dès que 2q > 1, c'est-à-dire dès que le jeu favorise la banque
• Nombre moyen de séquences avant l'explosion : 1 / qⁿ
• Durée moyenne d'une séquence, en tours : (1 − qⁿ) / p
• Chance d'atteindre un gain G avant l'explosion : (1 − qⁿ)^(G / mise)

La courbe de l'outil, elle, est une simulation : mille joueurs tirés au hasard avec vos paramètres. Elle ne donne jamais exactement les mêmes pourcentages que les formules — c'est le hasard — mais s'en approche à quelques points près.

En classe : un support de cours

Le simulateur sert de point de départ à une séance de probabilités — variables aléatoires, espérance, simulation. Trois pistes :

1. Prédire avant de simuler. Avec une mise de 10 € et une table à 500 €, combien de doublements sont possibles ? Quelle est la probabilité de perdre six coups de suite ? Les élèves calculent (19/37)⁶, puis comparent avec la courbe des 1 000 joueurs.
2. Trouver le signe de l'espérance. Écrire l'espérance d'une séquence, mise × (1 − (2q)ⁿ), et montrer qu'elle est négative dès que 2q > 1, quel que soit le nombre de doublements.
3. Débattre du ressenti. Pourquoi neuf sessions sur dix visant +50 € réussissent-elles, alors que la méthode perd ? C'est toute la différence entre la fréquence d'un gain et son espérance.

Le simulateur fonctionne dans le navigateur, sans inscription, et la méthode de calcul est publiée plus haut.

Si le jeu devient un problème

Le calcul est implacable, mais l'envie de « se refaire » ne se raisonne pas toujours. Si le jeu prend trop de place, pour vous ou pour un proche, des services gratuits et anonymes existent.

• En France : Joueurs Info Service, 09 74 75 13 13, de 8 h à 2 h, 7 jours sur 7. Appel anonyme et non surtaxé, et un chat sur le site. Service de Santé publique France.
• En France : l'interdiction volontaire de jeux, gérée par l'Autorité nationale des jeux, permet de s'interdire soi-même l'accès aux casinos et aux sites de jeux en ligne autorisés.
• Au Portugal : SOS Jogador, ligne 1414, gratuite, anonyme et confidentielle, en semaine de 10 h à 18 h, avec des psychologues de l'ICAD.

Questions fréquentes

Est-ce que la martingale fonctionne au casino ?
Non. Aucune stratégie de mise ne modifie l'espérance d'un jeu à espérance négative. La martingale change seulement la forme de la perte : de nombreux petits gains, puis une ruine totale en une seule séquence.

Combien de fois peut-on doubler sa mise ?
Autant que la limite de table le permet, pas plus. Avec une mise de base de 10 € et un plafond de 500 €, six doublements : 10, 20, 40, 80, 160 et 320 €.

Combien de temps avant de perdre avec une martingale ?
Avec 1 000 € de capital, 10 € de mise et une table à 500 €, environ 2 h 45 de jeu à la roulette européenne, pour un bilan moyen de −94,63 €.

Un gros capital protège-t-il ?
Non. La limite de table rend le capital inutile au-delà d'un certain seuil. Et sans limite, un capital plus gros fait durer la série plus longtemps, puis fait perdre davantage.

Et en commençant par une mise plus petite ?
Le ratio entre plafond et mise augmente, donc le nombre de doublements aussi. Vous jouez plus longtemps, et vous perdez plus en moyenne. Le dernier tableau s'applique.

Peut-on utiliser le simulateur en classe ?
Oui. Il fonctionne dans le navigateur, sans inscription, et la méthode de calcul est publiée : les élèves peuvent refaire les calculs et les comparer à la simulation de 1 000 joueurs.