La martingale des mathématiciens n'est pas celle des joueurs

Le mot est le même, l'idée est presque opposée. Le joueur appelle « martingale » une méthode censée battre le jeu. Le mathématicien appelle « martingale » un jeu qu'on ne peut pas battre — et c'est précisément la théorie des martingales qui démontre que la méthode du joueur échoue.

La définition, en français

Imaginez que vous suivez votre fortune au fil d'une partie : 100 € au départ, puis 110, puis 90, puis 105. Chaque valeur dépend du hasard.

Cette suite est une martingale si, à n'importe quel moment, votre meilleure prévision de la valeur suivante est exactement la valeur actuelle — et ce, même en connaissant tout l'historique de la partie. Vous avez 105 € : en moyenne, vous aurez encore 105 € après le prochain coup. Ni plus, ni moins. Le passé ne vous donne aucun avantage.

C'est la définition mathématique d'un jeu équitable. Pile ou face avec une pièce parfaite, à mise égale, en est l'exemple le plus simple.

Pour ceux qui veulent la notation : une suite X₀, X₁, X₂… est une martingale si E[Xₙ₊₁ | X₀, …, Xₙ] = Xₙ pour tout n. L'espérance conditionnelle de demain, sachant tout jusqu'à aujourd'hui, vaut aujourd'hui.

Le casino n'est pas une martingale

Il faut ici une nuance qui change tout. Au casino, le jeu n'est pas équitable : la roulette européenne rend 36 fois la mise pour un numéro qui a une chance sur 37 de sortir. En moyenne, chaque coup vous fait perdre un peu.

Votre fortune n'est donc pas une martingale, mais une surmartingale : la meilleure prévision de demain est inférieure à aujourd'hui. E[Xₙ₊₁ | passé] ≤ Xₙ. Le nom est trompeur — « sur » parce que la valeur actuelle est au-dessus de la valeur attendue — mais l'idée est simple : le jeu vous est défavorable, coup après coup.

Pour la banque, c'est l'inverse : sa fortune est une sous-martingale. Elle monte en moyenne.

Le théorème qui ferme la porte

Le résultat central porte le nom de Joseph Doob, mathématicien américain qui a construit l'essentiel de la théorie dans les années 1940 et 1950. On l'appelle le théorème d'arrêt. Il dit, en substance :

Si vous jouez à un jeu équitable, aucune règle qui décide quand vous arrêter ne peut vous donner, en moyenne, plus que ce que vous aviez au départ. Et si le jeu est défavorable, aucune règle ne peut le rendre favorable.

La règle d'arrêt peut être aussi astucieuse que vous voulez : « je m'arrête dès que je suis en gain », « je m'arrête après trois rouges », « je m'arrête à 200 € de bénéfice ». Tant qu'elle ne se fonde que sur ce qui s'est déjà passé — elle ne peut pas lire l'avenir — elle ne change pas l'espérance.

Un second résultat, voisin, concerne la taille des mises. Si, à chaque coup, vous choisissez combien miser en fonction du passé — doubler après une perte, augmenter d'une unité, suivre la suite de Fibonacci — votre fortune reste une martingale si le jeu était équitable, et une surmartingale s'il était défavorable. Les mathématiciens appellent cela une transformée de martingale, et la conclusion tient en une phrase : on ne bat pas un jeu en changeant la taille de ses mises.

Ces deux résultats, ensemble, condamnent toutes les méthodes de jeu, de la martingale du joueur à la Labouchère.

Mais alors, pourquoi la martingale « marche » sur le papier ?

C'est la question intéressante, et elle a une réponse précise.

Le théorème d'arrêt a des conditions. Il suppose, selon les versions, que la partie ne dure pas indéfiniment, ou que les sommes en jeu restent bornées. La martingale du joueur viole exactement ces conditions : elle suppose un capital illimité et aucune limite de mise. Dans ce monde imaginaire, elle garantit effectivement un gain d'une unité, avec une probabilité égale à 1.

Mais regardez ce que ça coûte. Pour garantir ce gain d'une unité, il faut être prêt à engager, au pire, une somme sans limite. La perte maximale qu'on risque en cours de route a une espérance infinie. On a échangé un gain certain de 10 € contre une exposition à une perte non bornée. C'est pour cela que les mathématiciens ne voient pas là une faille du théorème, mais une confirmation : dès qu'on réintroduit n'importe quelle limite réaliste — un capital fini, un plafond de table, une durée de vie humaine — les conditions sont réunies et l'espérance redevient négative.

C'est un cousin du paradoxe de Saint-Pétersbourg, posé par Nicolas Bernoulli en 1713 et discuté par Daniel Bernoulli en 1738 : un jeu dont l'espérance de gain est mathématiquement infinie, mais pour lequel personne de raisonnable ne paierait plus de quelques euros. Dans les deux cas, l'infini fait apparaître un résultat que le monde réel n'offre jamais.

Le calcul concret, avec vos propres chiffres, est sur le simulateur de ruine.

D'où vient le mot en mathématiques

Le terme est introduit en théorie des probabilités par le mathématicien français Jean Ville, dans sa thèse de 1939, qui l'emprunte délibérément au vocabulaire du jeu. Paul Lévy avait étudié des objets de même nature quelques années plus tôt. C'est ensuite Joseph Doob qui en fait une théorie générale, publiée dans son ouvrage Stochastic Processes en 1953.

Le choix du mot est ironique : Ville le prend au système de pari justement pour montrer qu'il ne peut pas fonctionner.

À quoi servent vraiment les martingales

Loin du casino, c'est l'un des outils les plus utilisés des mathématiques appliquées.

• En finance. Le résultat fondamental de l'évaluation des produits financiers dit qu'en l'absence d'arbitrage, les prix actualisés des actifs se comportent comme des martingales sous une certaine mesure de probabilité. Toute la tarification des options repose sur cette idée.
• En statistique. Les tests séquentiels — ceux qui décident au fil de l'eau d'arrêter ou de poursuivre un essai clinique, par exemple — s'appuient sur des martingales pour garantir qu'on ne triche pas en regardant les données trop souvent.
• En informatique. Des inégalités de concentration comme celle d'Azuma-Hoeffding, construites sur les martingales, servent à prouver qu'un algorithme aléatoire se comporte bien presque toujours.
• En théorie des jeux et en physique, partout où l'on étudie des processus aléatoires qui évoluent dans le temps.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une martingale en probabilités ?
Une suite de valeurs aléatoires dont l'espérance à l'instant suivant, sachant tout le passé, est égale à la valeur présente. C'est la formalisation d'un jeu équitable.

Quelle est la différence entre martingale et surmartingale ?
Une martingale modélise un jeu équitable : demain vaut aujourd'hui en moyenne. Une surmartingale modélise un jeu défavorable : demain vaut moins en moyenne. La fortune d'un joueur au casino est une surmartingale.

Que dit le théorème d'arrêt de Doob ?
Qu'aucune règle d'arrêt fondée sur le passé ne peut augmenter l'espérance d'un jeu équitable, ni rendre favorable un jeu défavorable, sous des conditions de bornitude que toute situation réelle respecte.

Pourquoi la martingale du joueur fonctionne-t-elle en théorie ?
Parce qu'elle suppose un capital illimité et aucune limite de mise, ce qui viole les conditions du théorème d'arrêt. Pour garantir un gain d'une unité, elle expose à une perte maximale d'espérance infinie. Toute limite réaliste rétablit une espérance négative.

Qui a inventé le terme en mathématiques ?
Jean Ville, dans sa thèse de 1939. Joseph Doob en a fait une théorie générale, publiée en 1953.